קיץ 2020 מועד ב (ניסוי 035581) – שאלה 1 סעיף באינדוקציה 571 · בגרות ניסוי

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2020 מועד ב (ניסוי 035581) – שאלה 1 סעיף ב

פרק 7 – בגרויות ניסוי 2020–2021 (שאלון 035581)

1נוסח השאלה

2סעיף ב – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:

11 · 2 + 12 · 3 + 13 · 4 + …

… + 1n(n + 1) = nn + 1

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה

11 · 2 + 12 · 3 + 13 · 4 + …
… + 1n(n + 1) = nn + 1

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: איבר אחד:

11 · 2 = 12

אגף ימין:

11 + 1 = 12 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

11 · 2 + 12 · 3 + 13 · 4 + …
… + 1n(n + 1) = nn + 1

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא 1(k + 1)(k + 2).

11 · 2 + … + 1(k + 1)(k + 2)

= k + 1k + 2

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

11 · 2 + 12 · 3 + 13 · 4 + …
… + 1n(n + 1) = nn + 1

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= kk + 1 + 1(k + 1)(k + 2)

מכנה משותף (k + 1)(k + 2):

= k(k + 2) + 1(k + 1)(k + 2)

= k² + 2k + 1(k + 1)(k + 2)

במונה ריבוע של סכום:

📐 נוסחת הכפל המקוצר

= (k + 1)²(k + 1)(k + 2)

נצמצם את (k + 1):

📐 הנחת האינדוקציה

11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(a + b)² = a² + 2ab + b²

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

11 · 2 + 12 · 3 + 13 · 4 + …
… + 1n(n + 1) = nn + 1

נצמצם את (k + 1):

= k + 1k + 2 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא